math-basic-know-geometry

几何->代数

几何

基于实际需要，几何发展早于代数

平面几何

发展顺序：感知-定义度量单位-系统书写
感知：

农业社会：土地测量计算；通过天狼星升起的角度，确立一年的长度，以确立农时和汛期
大规模城市建设：金字塔建设知道了勾股定理和圆周率
定义度量单位：确认长度和角度的单位
系统书写：如正多边形边长和面积的关系；直角三角形和等腰三角形；相似三角形成比例公理体系

基于公理，我们可以拆解问题，解决问题

基本公理：

传递 a=b,b=c ->a=c
可替 a=b,c=d ->a+c=b+d
a=b,c=d -> a-c=b-d
能彼此重合的图形是全等的
整体>部分

几何公理：

两点确立一条直线 -直线公理
有限直线可以延长
任意点为心，任意距离可以画圆 - 圆公理
直角相等- 直角公理
过线外一点，可仅可做一条平行线

公理是无理由但合事实的。定理是基于公理推导出来的结论。

几何证明：对顶角相等
imgs/Pasted image 20240529144954.png|200

证明：

用定义、公理证明，不引入假设
借用辅助线
定理是基石；定理和一般性问题有区别，一般性问题解决的再多，对体系建设也帮助不大

证明引理：所有直线对应角相等
垂直定义：当一条直线L和另一条直线M相交，左右两边夹角相等，则称 M和L 垂直。
直角定义：如果直线 M和L垂直，则夹角就是直角。直角的值=90°

-> 结论：直线的角度=两个直角和
一般公理2：可替，即a=b,c=d ->a+c=b+d
->垂直公理：任意直角相等=90°，任何一条线的角是两个直角相加，
->引理：所有直线的角相等
2. 证明：对顶角相等
引理：∠1+∠3=∠2+∠3
一般公理3：a=b,c=d -> a-c=b-d-> 等式两边-∠3，则 ∠1=∠2

非欧几何

不同于几何公理5（欧式几何），过线外一点，

有无数条平行线（罗氏集合）双曲面，三角和<180°
没有平行线（黎曼几何）椭球空间，三角和>180°

这三个几何工具是等价的。在不同的场景下，有不同的便利之处。比如，非欧几何在球面和曲面上，表达式更简单。一个球面的方程：x^2+y^2+z^2=25，而它在黎曼空间里，方程是 R=5.

爱因斯坦的广义相对论：
一个质量大的物体，会使周围的时空弯曲，万有引力就是弯曲时空的曲率，即时空和物质是相互影响的。E=mc²，能量=质量*光速²。在扭曲的空间里，光线沿着曲线走

解析几何

使用代数方法，解决几何题

直线和方程的关系：
二元一次方程 ax+by+c=0, 在平面方程中代表一条直线，因此这样的二元一次方程也叫线性方程。
一些几何证明题，如定理：三角形三条中线交于一点，用代数方法在坐标系下证明比图形分割组合更容易。
解析几何会让方程解的个数更为直观。

二元一次方程组：两条直线交于一点，就是有一个解；两条直线平行，就是没有解；两条直线重合，就是有无数多解。
一元二次方程：可能与X轴有一个交点，可能没有，可能两个。
一元三次方程：一定与X轴有一个交点，一定有一个解。

代数

函数

函数反应了变量间的关系

变量
对应关系
对应关系是确定的，即在一个函数中，一个变量只能对应一个值，而不是多个值
函数值=对应关系（变量）

函数的出现，让我们从关注具体的数，变成了关注趋势。并且可以准确度量趋势的差异

函数也为同一类问题，提供了普遍答案。如，投掷物体的距离=D=V^2×sin2α/g 其中，D表示投掷距离，V表示物体投掷时的抛体速度，α表示抛体与水平面的夹角，g表示重力加速度。调整初始速度和夹角，可以指导投掷项目的运动员、炮兵和狙击手。

函数的绝对性和变量间的相关性。

函数要基于实际，关注定义域。
由自变量推因变量叫函数；由因变量推自变量，叫反函数。两个函数相对45°角的对角线对称
自变量共同决定函数值，只能说函数与单个变量间是正相关，但不能说是必然。比如，高风险高回报。
今天的学术研究，只能在几个维度研究相关性，在研究一个变量影响时，只能排除其他变量影响。因此，除了关注研究结论，也要全面看待这个结论。

向量代数

做事方向夹角要尽可能小（合作、方向）、力量尽可能大（专业）

大部分物理量和生活中遇到的数量，不仅要关心数值大小，也要关心其方向。

中心城市，如巴黎，会以凯旋门形成极坐标系，指明 11点钟方向400m；
方形规划城市，如北京，需要以所在地为原点的直角坐标系，指明东向400m左拐再南向400m；
因此，三维空间，直角坐标系标识向量会更方便。

直角坐标系下，向量长度可以用勾股定理解/余弦函数解。
向量相加，是两个向量形成平行四边形的对角线的长度。

向量是横着排放的一组数字，每个数字代表一个维度的分量。我们可以用它来算分类，或者说相似性。

正交代表无关联
两个向量在各维度的分量成比例，则夹角为0。（向量的每个维度叫特征向量）
分类可以是文本分类，可用于简历分类。因此，如果在求职单位有熟人，最好问问职位要求，这样在他们看重的维度你的得分就高，他们不在意的维度，你也不需要强调。

线性代数

多个向量放在一起，形成矩阵。

矩阵计算
M行N列矩阵。可以想象一个公司M个岗位，每个岗位需要N个技能。
设公司是一个跨国公司，它在两个国家的分部分别为矩阵A，B

加法：矩阵相应位置的元素逐个相加
乘法：乘加权后累加

矩阵的使用，相当于批量处理。

微积分

微分

牛顿求瞬时速度，使用无限逼近的方法。v(t0)=△S/△t,当△t->0，即某时刻的瞬时速度，就是这个时刻无穷小时间内的平均速度；在坐标系上表现为曲线每个点上的切线斜率，也叫导数，导数也是一个函数，反应着原函数变化的快慢。

当一个函数取决于很多变量，用微分的梯度概念，找到最快的方向去努力。

对于不光滑甚至不连续的阶梯函数，在跳跃点是无法计算导数的。当△t->0,△S是一个常数。对于这种情况，我们说函数在这个跳跃点不可导。这个点是一个单独的（不连续的）点，叫奇点。

魏氏证明，连续的光滑的曲线可导。可导有两个条件：连续+光滑（!尖点）。

导数的性质，反映了总量的变化趋势

导数>0,原函数↑，导数越大，增幅越快
导数<0,原函数↓
导数=0，原函数不增不减

积分

速度是距离的微分，距离是速度的积分，两个运算互为逆运算。
从坐标系来看，积分就是求图形的面积。
速度本身是随时间变量的函数，那么距离就需要考虑时刻下的变化，积分可以求出这个变化。
加速度变化先于速度，速度变化先于距离，积分有滞后效应。一旦变化显著，已经是累积了很长时间的了，很难去逆转的。

开车过红灯

设当前速度 36km/h=10m/s，道路限速 72km/h=20m/s，当距离红绿灯 70m时，黄灯亮起，持续4s变成红灯。
试算，4s内不超速行驶完70m，可以吗，怎么行驶？

保持当前速度 10m/s，4s 时间只能行驶 10*4=40m<70m，需要汽车加速行驶。
汽车的加速度该是多少呢，假设加速度是一个定值=a m/s²，则
1s后，速度为（10+a）m/s，即 V(t) = V0 + at
又，最终速度是20m/s,
则加速时间=10+at=20,t=10/a

时间-速度函数的面积即为距离。4*20-10*10/a/2=80-50a>70,，则a>5 m/s²